제1장 — 라그랑주 역학

아래에 기술된 각 역학계에 대해 배치공간의 자유도 수를 구하라.

• a. 저글링 곤봉 세 개.
• b. 고정된 지지점에 붙은 질량 없는 강체 막대에 매달린 질점(진자추)으로

이루어진 구면 진자. 진자추는 강체 막대가 부과하는 구속조건을 받으며 어느 방향으로든 움직일 수 있다. 질점에는 균일한 중력이 작용한다.

• c. 고정된 지지점에 붙은 두 번째 질량 없는 막대에 매달린 두 번째 질점, 그리고 그 두 번째 질점에 붙은 질량 없는 강체 막대에 매달린 하나의 질점으로 이루어진 구면 이중 진자. 질점들에는 균일한 중력이 작용한다.
• d. 마찰 없이 굽은 강체 철사 위를 미끄러지는 질점.
• e. 물체의 대칭축 위 한 점이 고정 지지점에 붙은 강체 축대칭 물체로 이루어진

팽이. 균일한 중력이 작용한다.

• f. *e.*와 같지만 축대칭이 아닌 경우.

연습문제 1.1의 각 계에 대해, 계의 거동을 기술하는 데 쓸 수 있는 일반화 좌표계를 지정하라.

우리의 일상 경험은 물리적 운동이 연속적이고 매끄러운 배치 경로로 기술될 수 있음을 시사한다.¹¹ 우리는 저글링 곤봉이 한 장소에서 다른 장소로 건너뛰는 것을 보지 못한다. 저글링 곤봉이 움직이는 방식을 갑자기 바꾸는 것도 보지 못한다.

우리의 일상 경험은 물리계의 운동이 계의 전체 역사에 의존하지 않음을 시사한다. 저글링 곤봉이 공중에 던져진 뒤 방에 들어가면 우리는 그것이 언제 저글러의 손을 떠났는지 알 수 없다. 우리가 문으로 들어올 때 보이는 결과와 같은 결과를 내면서 저글러는 여러 시각에 여러 장소에서 곤봉을 던졌을 수 있다.¹² 따라서 곤봉의 운동은 역사의 세부에 의존하지 않는다.

우리의 일상 경험은 물리계의 운동이 결정론적임을 시사한다. 실제로 적은 수의 매개변수가 계 역사의 중요한 측면을 요약하고 미래 전개를 결정한다. 예를 들어 어느 순간이든 저글링 곤봉의 위치, 속도, 방향, 방향 변화율이면 곤봉의 미래 운동을 완전히 결정하기에 충분하다.

운동 경험에서 우리는 실현 가능한 배치 경로에 관한 몇 가지 기대를 끌어낸다. 경로가 실현 가능하다면 그 경로의 어느 구간도 실현 가능한 경로 구간이다. 반대로 경로의 모든 구간이 실현 가능한 경로 구간이면 그 경로는 실현 가능하다. 경로 구간의 실현 가능성은 그 구간 안 경로의 모든 점에 의존한다. 경로 구간의 실현 가능성은 경로 구간의 모든 점에 같은 방식으로 의존한다. 경로의 어느 부분도 특별하지 않다. 경로 구간의 실현 가능성은 오직 구간 안의 경로 점에 의존한다. 경로 구간의 실현 가능성은 국소 성질이다.

따라서 경로-구별 함수는 경로 구간을 따라 매 순간 측정되는 계의 어떤 국소 성질을 모아 합친다. 경로를 따르는 각 순간은 같은 방식으로 다루어야 한다. 경로 구간을 따르는 각 순간의 기여는 서로소 부분구간의 기여가 독립적이라는 성질을 유지하는 방식으로 결합되어야 한다. 이 요구를 만족하는 한 결합 방법은 기여를 더하는 것이다. 그러면 경로-구별 함수는 경로의 어떤 국소 성질에 대한 경로 구간 위 적분이 된다.¹³

그러므로 경로를 따라 국소 성질을 적분하여 구성한 경로-구별 함수가 모든 실현 가능한 경로에서 정지값을 취하도록 만들고자 한다. 이러한 경로-구별 함수는 전통적으로 계의 /작용(action)/이라 불린다. 통용되는 용법과 일치하게 “작용”이라는 말을 쓴다. 계속 “경로-구별 함수”라고 부르는 편이 더 명료할지도 모르지만, 그러면 다른 사람들이 우리가 무엇을 말하는지 알기 더 어려울 것이다.¹⁴

변분역학의 의제를 추구하려면 우리가 연구하는 계의 실현 가능한 궤적에서 정지하는 작용 함수를 고안해야 한다. 매 순간 배치 경로의 어떤 국소 성질을 적분한 작용을 고려할 것이다. q = χ ∘ γ/를 배치공간 안의 좌표 경로라 하자. /q/(/t)는 시간 /t/에서 배치의 좌표다. 그러면 /t/₁에서 /t/₂까지 시간 구간에서 경로 한 구간의 작용은¹⁵

$$\begin{aligned} {S\lbrack q\rbrack(t_{1},t_{2}) = {\int_{t_{1}}^{t_{2}}{F\lbrack q\rbrack.}}} & {(1.1)} \end{aligned}$$ 이다. 여기서 F[/q/]는 경로의 어떤 국소 성질을 측정하는 시간의 함수다. 이는 그 시각 함수 /q/의 값과 그 시각 /q/의 어떤 도함수 값에 의존할 수 있다.¹⁶

배치 경로는 한 순간에 좌표, 좌표 변화율, 그리고 그 순간 좌표의 모든 고계 도함수로 국소적으로 기술할 수 있다. 이 정보가 주어지면 그 순간을 포함하는 어떤 구간에서 경로를 재구성할 수 있다.¹⁷ 경로의 국소 성질은 경로의 국소 기술보다 더 많은 것에 의존할 수 없다.

함수 F/는 좌표 경로 /q/의 어떤 국소 성질을 측정한다. /F [/q/]를 두 부분, 곧 국소 기술의 어떤 성질을 측정하는 부분과 경로 함수로부터 경로의 국소 기술을 추출하는 부분으로 분해할 수 있다. 계의 국소 성질을 측정하는 함수는 특정 물리계에 의존한다. 경로에서 경로의 국소 기술을 구성하는 방법은 어느 계에서나 같다. F[/q/]를 이 두 함수의 합성으로 쓸 수 있다:¹⁸

$$\begin{aligned} {F\lbrack q\rbrack = L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack.} & {(1.2)} \end{aligned}$$ 함수 Γ는 좌표 경로를 받아 시간의 함수를 만들며, 그 값은 시간, 그 시간의 좌표, 그 시간의 좌표 변화율, 그 시간에 평가한 좌표의 고계 도함수 값을 담은 순서 있는 튜플이다. 경로 /q/와 시간 /t/에 대해:

$$\begin{aligned} {\Gamma\lbrack q\rbrack(t) = (t,q(t),Dq(t),\ldots).} & {(1.3)} \end{aligned}$$ 필요한 만큼의 도함수를 포함하는 이 튜플을 /국소 튜플(local tuple)/이라 부른다. 함수 Γ[/q/]는 좌표 경로 /q/와 그 도함수에만 의존한다. 함수 Γ[/q/]는 /χ/나 /q/가 /χ/와 /γ/를 합성하여 만들어졌다는 사실에 의존하지 않는다.

함수 /L/은 조사하는 물리계의 특정 세부에 의존하지만 어떤 특정 배치 경로에는 의존하지 않는다. 함수 /L/은 경로의 실숫값 국소 성질을 계산한다. /L/은 이 성질을 계산하는 데 국소 튜플의 유한한 수의 성분만 필요함을 보게 될 것이다. 전체 국소 기술로부터 경로를 국소적으로 재구성할 수 있고, /L/이 국소 튜플의 유한한 수 성분에 의존한다는 사실은 /L/이 국소 성질을 측정함을 보장한다.¹⁹

이 분해의 장점은 경로의 국소 기술이 고려하는 계와 독립적으로, 배치 경로에서 균일한 과정으로 계산된다는 점이다. 계에 특수한 모든 정보는 함수 /L/에 포착된다.

함수 L/을 그 계의 /라그랑지언(Lagrangian)²⁰이라 하고, 그로부터 얻는 작용

$$\begin{aligned} {S\lbrack q\rbrack(t_{1},t_{2}) = {\int_{t_{1}}^{t_{2}}{L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack,}}} & {(1.4)} \end{aligned}$$ 을 /라그랑지언 작용(Lagrangian action)/이라 한다. 시간, 위치, 속도에만 의존하는 라그랑지언의 경우 작용은 다음처럼도 쓸 수 있다.

$$\begin{aligned} {S\lbrack q\rbrack(t_{1},t_{2}) = {\int_{t_{1}}^{t_{2}}{L(t,q(t),Dq(t))\, dt.}}} & {(1.5)} \end{aligned}$$ 매우 다양한 계에서 라그랑지언을 찾을 수 있다. 많은 계에서 라그랑지언을 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 차로 잡을 수 있음을 보게 될 것이다. 이러한 라그랑지언은 시간, 배치, 배치 변화율에만 의존한다. 이 부류의 계에 초점을 맞추겠지만, 때때로 더 일반적인 계도 고려한다.

계의 실현 가능한 경로는 가까이에 있는 어떤 실현 불가능한 경로 집합에 관한 작용의 정지성으로 다른 경로와 구별되어야 한다. 그런데 실현 가능한 경로 가까이의 몇몇 경로 역시 실현 가능하다. 저글링 곤봉의 어느 운동에 대해서나 그것과 조금 다른 다른 운동이 있다. 그러므로 경로 변분에 관해 작용이 정지하는지 묻는 문제를 다룰 때에는 고려하는 경로 집합이 실현 가능한 경로를 하나만 포함하도록 어떤 방식으로 제한해야 한다. 배치와 배치 변화율에만 의존하는 라그랑지언의 경우에는 경로 구간 양 끝점에서 같은 배치를 가진 경로들로 집합을 제한하면 충분함이 드러날 것이다.

/정지 작용 원리(principle of stationary action)/는 각 동역학계에 대해, t/₁과 /t/₂ 두 시각의 배치를 잇는 실현 가능한 경로가 경로 변분에 대한 작용 /S[/q/](/t/₁, /t/₂)의 정지성으로 모든 생각 가능한 경로와 구별되도록 하는 라그랑지언을 고안할 수 있다고 주장한다.²¹ 배치와 배치 변화율에만 의존하는 라그랑지언의 경우 변분은 /t/₁과 /t/₂에서 배치를 보존하는 변분으로 제한된다.²²

자유 입자에 적절한 라그랑지언은³⁶

$$\begin{aligned} {L(t,x,v) = \frac{1}{2}mv^{2}.} & {(1.8)} \end{aligned}$$ 이다. x/가 자유 입자의 일정 속도 직선 경로이고, /x/_{/a} = x/(/t/_{/a})와 x/_{/b} = x/(/t/_{/b})라 하자. 해 경로에서의 작용이 다음과 같음을 보여라.

$$\begin{aligned} {\frac{m}{2}\frac{{(x_{b} - x_{a})}^{2}}{t_{b} - t_{a}}.} & {(1.9)} \end{aligned}$$

우리는 자유 입자의 실제 경로가 직선 위의 등속 운동임을 이미 안다. Euler와 Lagrange에 따르면 작용은 가까운 경로보다 직선 시험 경로에서 더 작다. $q$를 작용 $S\left[q\right](t_1, t_2)$을 갖는 직선 시험 경로라 하자. $q + \varepsilon \eta$를 실수 매개변수 $\varepsilon$로 크기를 조절한 경로 변분 $\eta$를 $q$에 더하여 얻은 가까운 경로라 하자.³⁷ 변분 경로의 작용은 $S\left[q + \varepsilon \eta\right](t_1, t_2)$다. Euler와 Lagrange는 끝점에서 영인 모든 $\eta$와 작은 영 아닌 모든 $\eta$에 대해 $S\left[q + \varepsilon \eta\right](t_1, t_2) > S\left[q\right](t_1, t_2)$임을 발견했다.

끝점 $t = t_1$, $t = t_2$에서 영이 되는 시험 함수의 어떤 양을 더하여 시험 경로를 변분시켜, 이를 수치적으로 확인해 보자. 충분히 잘 거동하는 함수 ν/가 주어졌을 때 끝점에서 영인 함수 $\eta$를 만들려면 /η/(/t) = (t − t/₁)(/t − t/₂)/ν/(/t)를 쓸 수 있다. 이를 구현하면 다음과 같다.

(define ((make-eta nu t1 t2) t)
(* (- t t1) (- t t2) (nu t)))

이를 사용해 주어진 경로에서 변분한 경로 위 자유 입자의 작용을 /ϵ/의 함수로 계산할 수 있다:³⁸

(define ((varied-free-particle-action mass q nu t1 t2) eps)
(let ((eta (make-eta nu t1 t2)))
(Lagrangian-action (L-free-particle mass)
                   (+ q (* eps eta)) t1 t2)))

ν/(/t) = (sin t, cos t, t/²)이고 /ϵ = 0.001일 때 변분 경로의 작용은 예상대로 시험 경로의 작용보다 크다:

((varied-free-particle-action 3.0 test-path (up sin cos square) 0.0 10.0) 0.001)

436.29121428571153

작용이 최소가 되는 ϵ 값을 수치적으로 계산할 수 있다. 예를 들어 −2와 1 사이를 탐색한다:³⁹

(minimize
(varied-free-particle-action 3.0 test-path (up sin cos square) 0.0 10.0) -2.0
1.0)

(-1.5987211554602254e-14 435.0000000000237 5) {%

우리는 예상한 바, 곧 /ϵ/의 최선값이 영⁴⁰이고 작용의 최솟값이 직선 경로를 따른 작용이라는 것을 정확히 찾아낸다.

우리는 주어진 궤적이 실현 가능한지 결정하기 위해 변분 원리를 사용했다. 변분 원리로 궤적을 찾을 수도 있다. 유한한 수의 매개변수로 지정되는 궤적 집합이 주어지면, 작용을 최소화하는 궤적을 찾아 실제 궤적을 가장 잘 근사하는 집합 안의 궤적을 찾으면서 매개변수 공간을 탐색할 수 있다. 좋은 근사 함수 집합을 선택하면 실제 궤적에 임의로 가까이 갈 수 있다.⁴¹

끝점이 고정된 매개변수 경로를 만드는 한 방법은 끝점뿐 아니라 여러 중간점을 지나는 다항식을 쓰는 것이다. 중간점 위치를 변분하면 경로가 변분된다. 변분 경로의 매개변수는 중간 위치의 좌표다. 절차 make-path는 라그랑주 보간 다항식을 써서 이와 같은 경로를 구성한다. 절차 make-path는 다섯 인수 (make-path t0 q0 t1 q1 qs)로 호출한다. 여기서 q0, q1은 끝점이고 t0, t1은 대응하는 시각이며 qs는 중간점 목록이다.⁴²

매개변수 경로를 지정했으면 그 매개변수 경로를 따라 계산한 작용인 매개변수 작용을 구성할 수 있다:

(define ((parametric-path-action Lagrangian t0 q0 t1 q1) qs)
(let ((path (make-path t0 q0 t1 q1 qs)))
(Lagrangian-action Lagrangian path t0 t1)))

작용을 최소화하는 매개변수를 찾아 근사 해 경로를 찾을 수 있다. 이 최소화는 미리 만들어진 다차원 최소화 절차로 한다:⁴³

(define (find-path Lagrangian t0 q0 t1 q1 n)
(let ((initial-qs (linear-interpolants q0 q1 n)))
(let ((minimizing-qs (multidimensional-minimize
                      (parametric-path-action Lagrangian t0 q0 t1 q1) initial-qs)))
  (make-path t0 q0 t1 q1 minimizing-qs))))

절차 multidimensional-minimize는 최소화할 함수(이 경우 작용)를 계산하는 절차(이 경우 parametric-path-action 호출의 값)와 매개변수의 초기 추측값을 받는다. 여기서는 linear-interpolants로 계산한 두 끝점 사이 직선 위의 등간격 점들을 초기 추측값으로 선택한다.

이 전략의 사용을 예시하기 위해 라그랑지언이⁴⁴

$$\begin{aligned} {L(t,q,v) = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2}kq^{2},} & {(1.10)} \end{aligned}$$ 인 조화 진동자의 궤적을 찾는다. 여기서 /m/은 질량이고 /k/는 용수철 상수다. 이 라그랑지언은 다음으로 구현한다.⁴⁵

(define ((L-harmonic m k) local)
(let ((q (coordinate local))
    (v (velocity local)))
(- (* 1/2 m (square v))
   (* 1/2 k (square q)))))

m = 1, k = 1인 조화 진동자가 /q/(0) = 1과 /q/(/π//2) = 0 사이에서 취하는 근사 경로는 다음처럼 찾을 수 있다:⁴⁶

(define q
(find-path (L-harmonic 1.0 1.0) 0.0 1.0 :pi/2 0.0 3))

m = 1, k = 1일 때 이 조화 진동자의 궤적은 다음과 같음을 안다.

$$\begin{aligned} {q(t) = A\,\,\text{cos}(t + \varphi)} & {(1.11)} \end{aligned}$$ 여기서 진폭 A/와 위상 /φ/는 초기 조건으로 결정된다. 선택한 끝점 조건에서는 해가 /q/(/t) = cos(t)다. 근사 경로는 0에서 /π//2까지 범위에서 코사인의 근사여야 한다. 그림 1.1은 이 과정이 만든 다항식 근사의 오차를 보인다. 중간점 세 개를 쓴 근사의 최대 오차는 1.7 × 10⁻⁴보다 작다. 예상대로 중간점 수가 늘면 근사 오차가 줄어든다. 중간점 네 개일 때는 약 15배 더 좋다.

연습문제 1.5: 해 구하는 과정

작용이 계산될 때마다 경로를 그리도록 절차 parametric-path-action을 고치면 최소화의 진행을 볼 수 있다. 다음을 시도하라:

(define win2 (frame 0.0 :pi/2 0.0 1.2))

(define ((parametric-path-action Lagrangian t0 q0 t1 q1) intermediate-qs)
(let ((path (make-path t0 q0 t1 q1 intermediate-qs))) ;; display path
(graphics-clear win2)
(plot-function win2 path t0 t1 (/ (- t1 t0) 100)) ;; compute action
(Lagrangian-action Lagrangian path t0 t1)))

(find-path (L-harmonic 1.0 1.0) 0.0 1.0 :pi/2 0.0 2)

연습문제 1.6: 작용 최소화

불가능한 문제에 대해 작용을 최소화하여 경로를 얻으려 한다고 하자. 예를 들어 자유 입자가 있고, 입자가 자유롭다는 것과 양립하지 않는 위치뿐 아니라 속도에 관한 끝점 조건을 부과한다고 하자. 이 형식론은 이런 불쾌한 공격으로부터 스스로를 보호하는가? 이를 프로그래밍하여 무슨 일이 일어나는지 보면 깨달음을 얻을 수 있다.

L/이 시간, 좌표, 속도에 의존하는 어떤 계의 라그랑지언이고, /q/가 작용 /S[/q/](/t/₁, /t/₂)를 정지로 만드는 좌표 경로라면(경로의 양 끝점을 고정하는 임의의 경로 변분에 관하여), 다음이 성립함을 보게 될 것이다.

$$\begin{aligned} {D(\partial_{2}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack) - \partial_{1}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack = 0.} & {(1.12)} \end{aligned}$$ 여기서 /L/은 국소 튜플의 실숫값 함수이고, ∂₁/L/과 ∂₂/L/은 각각 /L/의 일반화 위치 인수와 일반화 속도 인수에 대한 편미분을 나타낸다.⁴⁷ 함수 ∂₂/L/은 국소 튜플을, 일반화 속도의 각 성분에 대한 /L/의 도함수를 성분으로 갖는 구조로 보낸다. 함수 Γ[/q/]는 시간을 국소 튜플로 보낸다: Γ[/q/](t) = (t, q/(/t), Dq/(/t), …). 따라서 합성 ∂₁/L/ ∘ Γ[/q/]와 ∂₂/L/ ∘ Γ[/q/]는 인수가 하나, 곧 시간인 함수이다. 라그랑주 방정식은 임의의 시각에 ∂₂/L/ ∘ Γ[/q/]의 도함수가 ∂₁/L/ ∘ Γ[/q/]와 같다고 주장한다. 라그랑지언이 주어지면 라그랑주 방정식은 실현 가능한 경로가 만족해야 하는 상미분방정식계를 이룬다.

라그랑주 방정식은 전통적으로 /q/의 각 성분마다 하나씩 따로 쓴다:

$$\begin{aligned} {\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial{\dot{q}}^{i}} - \frac{\partial L}{\partial q^{i}} = 0} & {i = 0,\ldots,n - 1.} \end{aligned}$$

라그랑주 방정식을 이렇게 쓰는 방식에서는, 이 표기가 세 변수 (t, q,

q˙

)의 실숫값 함수인 L/과, 하나의 실변수 /t/의 실숫값 함수인 /L ∘ Γ[/q/]를 구별하지 않는다. 이 표기의 말장난을 알아채지 못하면 방정식은 쓰인 그대로는 뜻이 통하지 않는다—∂/L//∂

q˙

는 세 변수의 함수이므로, 이 식에 d///dt/를 취하기 전에 인수 /q,

q˙

를 /t/의 함수로 보아야 한다. 마찬가지로 ∂/L//∂/q/도 세 변수의 함수이고, 이것을 다음과 같이 놓기 전에 /t/의 함수로 보아야 한다

$d/dt\left( {\partial L/\partial\dot{q}} \right)$

.

전통적 표기를 올바르게 쓰면 더 명시적이다:

$\frac{d}{dt}\left( \left. \frac{\partial L\left( {t,w,\dot{w}} \right)}{\partial{\dot{w}}^{i}} \right|_{\begin{array}{l} {w = q{(t)}} \\ {\dot{w} = \frac{dq{(t)}}{dt}} \end{array}} \right) - \left. \frac{\partial L\left( {t,w,\dot{w}} \right)}{\partial w^{i}} \right|_{\begin{array}{l} {w = q{(t)}} {\dot{w} = \frac{dq{(t)}}{dt}} \end{array}} = 0,$

여기서 i = 0, …, n − 1이다. 이 식들에서 우리는 먼저 라그랑지언 함수의 편미분을 취하고, 그런 다음 라그랑지언의 위치 인수와 속도 인수에 경로와 그 도함수를 대입하여 시간에 관한 식을 얻는 것을 본다.

q/를 (/t/₁, /q/(/t/₁))에서 (/t/₂, /q/(/t/₂))에 이르는 실현 가능한 좌표 경로라 하자. /η/(/t/₁) = /η/(/t/₂) = 0인 근처 경로 /q + /ϵη/를 생각하자. 다음과 같이 두자.

$$\begin{array}{lll} {g(\mathit{\epsilon})} & {= S\lbrack q + \mathit{\epsilon}\eta\rbrack(t_{1},\,\, t_{2})} & \\ & {= {\int_{t_{1}}^{t_{2}}{L(t,q(t) + \mathit{\epsilon}\eta(t),Dq(t) + \mathit{\epsilon}D\eta(t))dt.}}} & {(1.13)}\end{array}$$ /ϵ/에 대한 거듭제곱 급수로 전개하면

$$\begin{aligned} {g(\mathit{\epsilon}) = g(0) + \mathit{\epsilon}Dg(0) + \cdots} & {(1.14)} \end{aligned}$$ 연쇄 법칙을 쓰면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{lll} {Dg(0)} & {= {\int_{t_{1}}^{t_{2}}{(\partial_{1}L(t,q(t),Dq(t))\eta(t))\,\, dt}}} & \\ & {+ {\int_{t_{1}}^{t_{2}}{(\partial_{2}L(t,q(t),Dq(t))D\eta(t))\,\, dt.}}} & {(1.15)}\end{array}$$ 두 번째 항을 부분적분하면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{lll} {Dg(0)} & {= {\int_{t_{1}}^{t_{2}}{(\partial_{1}L(t,q(t),Dq(t))\eta(t))\,\, dt}}} & \\ & {+ \,\partial_{2}L(t,q(t),Dq(t)D\eta(t))\eta(t)|_{t_{1}}^{t_{2}}} & \\ & {- {\int_{t_{1}}^{t_{2}}{\frac{d}{dt}(\partial_{2}L(t,q(t),Dq(t)))\eta(t)dt}}.} & {(1.16)}\end{array}$$ 경로의 변분으로 인한 작용의 증분 Δ/S/는 /ϵ/의 1차까지 /ϵDg/(0)이다. $\eta$가 양 끝점에서 0이므로 적분된 항은 0이다. 나머지 두 항을 모으고 함수 표기로 되돌리면 증분은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} {\Delta S = \mathit{\epsilon}{\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left\{ \partial_{1}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack\, - \, D(\partial_{2}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack) \right\}}\eta.} & {(1.17)} \end{aligned}$$ Δ/S/가 0이면 작용은 정지이다. 우리는 변분을 고르는 데 충분한 자유를 남겨 두었으므로, 피적분 함수에서 $\eta$에 곱해지는 인자는 경로를 따라 각 점에서 0이 되도록 강제된다. 귀류법으로 논증한다. 이 인자가 어떤 특정한 시각에 0이 아니라고 하자. 그러면 그 성분 가운데 적어도 하나에서 0이 아니어야 한다. 그런데 $\eta$를 그 시각의 근방에서 그 성분에서만 0이 아니고 나머지 모든 곳에서는 0인 융기(bump) 함수로 잡으면 적분은 0이 아니게 된다. 따라서 중괄호 안의 인자는 항등적으로 0이라고 결론지을 수 있고, 이로써 라그랑주 방정식을 얻는다:⁴⁸

$$\begin{aligned} {D(\partial_{2}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack)\, - \,\partial_{1}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack = 0.} & {(1.18)} \end{aligned}$$

먼저 경로가 변할 때 경로 의존 함수(path-dependent function)가 어떻게 변하는지 조사할 도구를 마련한다. 그런 다음 이 도구를 작용에 적용하여 라그랑주 방정식을 유도한다.

경로 q/에 의존하는 함수 /f[/q/]가 있다고 하자. 경로를 변화시키면 이 함수는 어떻게 변하는가? q/를 좌표 경로라 하고 /q + /ϵη/를 변화된 경로라 하자. 여기서 함수 $\eta$는 경로 q/에 더할 수 있는 경로 같은 함수이고, 인자 /ϵ/는 크기 배율이다. 경로 /q 위에서 함수 f/의 /변분 δ_ηf[/q/]를 다음과 같이 정의한다.⁴⁹

$$\begin{aligned} {\delta_{\eta}f\lbrack q\rbrack = \underset{\mathit{\epsilon}\rightarrow 0}{\lim}\left( \frac{f\lbrack q + \mathit{\epsilon}\eta\rbrack - f\lbrack q\rbrack}{\mathit{\epsilon}} \right).} & {(1.19)} \end{aligned}$$ /f/의 변분은 경로의 작은 변분에 대한 함수 /f/의 변화의 선형 근사이다. /f/의 변분은 $\eta$에 의존한다.

간단한 예는 항등 경로 함수 I[/q/] = /q/의 변분이다. 정의를 적용하면 다음을 얻는다.

$$\begin{aligned} {\delta_{\eta}I\lbrack q\rbrack = \underset{\mathit{\epsilon}\rightarrow 0}{\lim}\left( \frac{(q + \mathit{\epsilon}\eta) - q}{\mathit{\epsilon}} \right) = \eta.} & {(1.20)} \end{aligned}$$ δ_ηI[/q/]는 전통적으로 그냥 /δq/라고 쓴다. 또 다른 예는 경로의 도함수를 돌려주는 경로 함수의 변분이다. 다음이 성립한다.⁵⁰

$$\begin{aligned} {\delta_{\eta}g\lbrack q\rbrack = \underset{\mathit{\epsilon}\rightarrow 0}{\lim}\left( \frac{D(q + \mathit{\epsilon}\eta) - Dq}{\mathit{\epsilon}} \right) = D\eta\,\,\,\,\text{with}\,\,\,\, g\lbrack q\rbrack = Dq.} & {(1.21)} \end{aligned}$$ δ_ηg[/q/]는 전통적으로 /δDq/라고 쓴다.

변분은 도함수로 나타낼 수 있다. g/(/ϵ) = f[/q/ + /ϵη/]라 하자. 그러면

$$\begin{aligned} {\delta_{\eta}f\lbrack q\rbrack = \underset{\mathit{\epsilon}\rightarrow 0}{\lim}\left( \frac{g(\mathit{\epsilon}) - g(0)}{\mathit{\epsilon}} \right) = Dg(0).} & {(1.22)} \end{aligned}$$ 변분은 다음과 같은 도함수 비슷한 성질을 갖는다. 경로 의존 함수 f/와 /g, 그리고 상수 /c/에 대하여:

$$\begin{aligned} {\delta_{\eta}(f\, g)\lbrack q\rbrack = \delta_{\eta}f\lbrack q\rbrack\,\, g\lbrack q\rbrack + f\lbrack q\rbrack\,\,\delta_{\eta}g\lbrack q\rbrack} & {(1.23)} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} {\delta_{\eta}(f + g)\lbrack q\rbrack = \delta_{\eta}f\lbrack q\rbrack\, + \,\,\delta_{\eta}g\lbrack q\rbrack} & {(1.24)} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} {\delta_{\eta}(cf)\lbrack q\rbrack = c\,\,\delta_{\eta}f\lbrack q\rbrack.} & {(1.25)} \end{aligned}$$ /F/를 경로에 무관한 함수라 하고 /g/를 경로 의존 함수라 하자. 그러면

$$\begin{aligned} {\delta_{\eta}h\lbrack q\rbrack = (DF \circ g\lbrack q\rbrack)\,\,\delta_{\eta}g\lbrack q\rbrack\,\,\,\text{with}\,\,\,\, h\lbrack q\rbrack = F \circ g\lbrack q\rbrack.} & {(1.26)} \end{aligned}$$ 연산자 /D/(미분)와 /δ/(변분)는 다음과 같은 뜻에서 교환한다:

$$\begin{aligned} D{\delta_{\eta}f\lbrack q\rbrack = \delta_{\eta}g\lbrack q\rbrack\,\,\,\text{with}\,\,\,\, g\lbrack q\rbrack = D(f\lbrack q\rbrack).} & {(1.27)} \end{aligned}$$

변분은 비슷한 뜻에서 적분과도 교환한다.

경로 의존 함수 /f/가 어떤 특정 경로 /q/에 대해 그 경로의 작은 변화에 관하여 정지라면, /q/에 특정한 함수 $\eta$의 작은 배수를 더해 얻는 변분의 부분집합에 대해서도 정지여야 한다. 그러므로 임의의 $\eta$에 대하여 δ_ηf[/q/] = 0이라는 진술은 함수 f/가 /q 주위 경로의 작은 변분에 대하여 정지임을 함의한다.

연습문제 1.7: /δ/의 성질

/δ/가 성질 1.23–1.27을 가짐을 보여라.

연습문제 1.8: /δ/의 구현

a. 경로 의존 함수를 구현하는 절차 f가 있다고 하자. 경로 q와 시간 t에 대해 그 값은 ((f q) t)이다. 절차 delta는 변분 (δ_ηf)[/q/](t)를 식 ((((delta eta) f) q) t)의 값으로 계산한다. delta의 정의를 완성하라:

(define (((delta eta) f) q) ... )

b. 여러분의 delta 절차를 써서, 절차 f가 구현하는 것과 같은 간단한 함수에 대해 연습문제 1.7에 나열된 /δ/의 성질을 확인하라:⁵¹

(define (f q)
(compose (literal-function 'F (-> (UP Real (UP* Real) (UP* Real)) Real))
       (Gamma q)))

이것은 각 순간에 경로의 국소 튜플에 의존하는 n-자유도 경로 의존 함수를 구현한다. 리터럴 2차원 경로는 다음과 같이 정의할 수 있다.

(define q (literal-function 'q (-> Real (UP Real Real))))

등식의 양변을 모두 계산하고 그 결과를 빼 보라. 답은 0이어야 한다.

작용은 경로를 따라 라그랑지언을 적분한 것이다:

$$\begin{aligned} {S\lbrack q\rbrack(t_{1},t_{2}) = {\int_{t_{1}}^{t_{2}}{L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack.}}} & {(1.28)} \end{aligned}$$ 실현 가능한 경로 /q/에 대해, 끝점을 보존하는 임의의 변분 $\eta$, 곧 /η/(/t/₁) = /η/(/t/₂) = 0인 변분에 관한 작용의 변분은 0이다:

$$\begin{aligned} {\delta_{\eta}S\lbrack q\rbrack(t_{1},t_{2}) = 0.} & {(1.29)} \end{aligned}$$ 변분은 적분과 교환하므로 작용의 변분은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} {\delta_{\eta}S\lbrack q\rbrack(t_{1},t_{2}) = {\int_{t_{1}}^{t_{2}}{\delta_{\eta}h\lbrack q\rbrack\,\,\,\,\text{where}\,\,\,\, h\lbrack q\rbrack = L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack.}}} & {(1.30)} \end{aligned}$$ 다음 사실을 쓰면

$$\begin{aligned} {\delta_{\eta}\Gamma\lbrack q\rbrack(t) = (0,\eta(t),D\eta(t)),} & {(1.31)} \end{aligned}$$ —이는 방정식 (1.20)과 (1.21)에서 따라 나온다—그리고 변분에 대한 연쇄 법칙 (1.26)을 쓰면 다음을 얻는다.⁵²

$$\begin{array}{lll} {\delta_{\eta}S\lbrack q\rbrack(t_{1},t_{2})} & {= {\int_{t_{1}}^{t_{2}}{(D\, L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack)\delta_{\eta}\Gamma\lbrack q\rbrack}}} & \\ & {= {\int_{t_{1}}^{t_{2}}{((\partial_{1}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack)\eta + (\partial_{2}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack)D\eta).}}} & {(1.32)}\end{array}$$ 방정식 (1.32)의 마지막 항을 부분적분하면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{lll} {\delta_{\eta}S\lbrack q\rbrack(t_{1},t_{2}) =} & {(\partial_{2}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack)\eta|_{t_{1}}^{t_{2}}} & \\ & {+ {\int_{t_{1}}^{t_{2}}{\left\{ (\partial_{1}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack) - D(\partial_{2}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack) \right\}\eta.}}} & {(1.33)}\end{array}$$ 우리의 변분 $\eta$에 대해서는 /η/(/t/₁) = /η/(/t/₂) = 0이므로 첫 항은 사라진다.

따라서 작용의 변분이 0인 것은 다음과 필요충분이다.

$$\begin{aligned} {0 = {\int_{t_{1}}^{t_{2}}{\left\{ (\partial_{1}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack) - D(\partial_{2}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack) \right\}\,\eta.}}} & {(1.34)} \end{aligned}$$ 가정에 의해 q/는 실현 가능한 경로이므로 작용의 변분은 0이다. 따라서 (1.34)는 끝점에서 0인 /임의의 함수 $\eta$에 대해 참이어야 한다. $\eta$는 끝점에서 0이라는 것 말고는 임의이므로, 피적분 함수에서 괄호로 묶인 인자는 0이다. 그러므로

$$\begin{aligned} {D(\partial_{2}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack) - (\partial_{1}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack) = 0.} & {(1.35)} \end{aligned}$$ 이것이 바로 우리가 얻고자 했던 것, 곧 라그랑주 방정식이다.

라그랑주 방정식을 만족하는 경로는 작용이 정지인 경로이며, 작용이 정지라는 사실은 경로의 각 점(그리고 근처 경로의 각 점)에서의 L 값에만 의존할 뿐, 그 값을 계산하는 데 쓰는 좌표계에는 의존하지 않는다. 그러므로 계의 경로가 어떤 특정 좌표계에서 라그랑주 방정식을 만족한다면 임의의 좌표계에서도 라그랑주 방정식을 만족해야 한다. 따라서 변분역학의 방정식은 어떤 배치공간에서든 어떤 좌표계에서든 같은 방식으로 유도된다.

예로 조화 진동자를 생각하자. 하나의 라그랑지언은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} {L(t,x,v) = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2}kx^{2}.} & {(1.36)} \end{aligned}$$ 그러면

$$\begin{aligned} {\partial_{1}L(t,x,v) = - kx\,\,\,\,\,\,\text{and}\,\,\,\,\partial_{2}L(t,x,v) = mv.} & {(1.37)} \end{aligned}$$ 라그랑지언은 시간, 좌표, 속도로 이루어진 튜플에 적용된다. 기호 t, x, /v/는 임의이며, 라그랑지언의 형식 매개변수를 지정하는 데 쓰인다.

이제 각 시각 t/에 대해 진동자의 좌표 /y/(/t)를 주는 배치 경로 /y/가 있다고 하자. 시각 /t/에서 대응하는 국소 튜플의 처음 부분은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} {\Gamma\lbrack y\rbrack(t) = (t,y(t),Dy(t)).} & {(1.38)} \end{aligned}$$ 그러므로

$$\begin{aligned} {(\partial_{1}L \circ \Gamma\lbrack y\rbrack)(t) = - ky(t)\,\,\,\,\,\text{and}\,\,\,\,\,(\partial_{2}L \circ \Gamma\lbrack y\rbrack)(t) = mDy(t),} & {(1.39)} \end{aligned}$$ 그리고

$$\begin{aligned} {D(\partial_{2}L \circ \Gamma\lbrack y\rbrack)(t) = mD^{2}y(t),} & {(1.40)} \end{aligned}$$ 따라서 라그랑주 방정식은

$$\begin{aligned} {mD^{2}y(t) + ky(t) = 0,} & {(1.41)} \end{aligned}$$ 이며, 이것이 조화 진동자의 운동방정식이다.

또 다른 예로, 질량 /m/인 입자가 고정된 인력 중심 주위를 도는 2차원 운동을 생각하자. 중력 퍼텐셜 에너지는 −/μ/r/이고, 여기서 /r/는 인력 중심까지의 거리이다. 이를 /케플러 문제(Kepler problem)/라 한다.

이 문제에 대한 하나의 라그랑지언은 다음과 같다.⁵³

$$\begin{aligned} {L(t;\xi,\eta;v_{\xi},v_{\eta}) = \frac{1}{2}m(v_{\xi}^{2} + v_{\eta}^{2}) + \frac{\mu}{\sqrt{\xi^{2} + \eta^{2}}},} & {(1.42)} \end{aligned}$$ 여기서 $\xi$와 $\eta$는 입자의 직교 좌표에 대한 형식 매개변수이고, /v_ξ/와 /v_η/는 대응하는 직각 속도 성분에 대한 형식 매개변수이다. 그러면

$$\begin{array}{lll} {\partial_{1}L(t;\xi,\eta;v_{\xi},v_{\eta})} & {= \lbrack\partial_{1,0}L(t;\xi,\eta;v_{\xi},v_{\eta}),\partial_{1,1}L(t;\xi,\eta;v_{\xi},v_{\eta})\rbrack} & \\ & {{= \left\lbrack {\frac{- \mu\xi}{{(\xi^{2} + \eta^{2})}^{3/2}},\frac{- \mu\eta}{{(\xi^{2} + \eta^{2})}^{3/2}}} \right\rbrack}.} & {(1.43)}\end{array}$$ 마찬가지로,

$$\begin{aligned} {\partial_{2}L(t;\xi,\eta;v_{\xi},v_{\eta}) = \lbrack mv_{\xi},mv_{\eta}\rbrack.} & {(1.44)} \end{aligned}$$ 이제 배치 경로 q = (x, y)가 있어서 시각 t/에서 좌표 튜플이 /q/(/t) = (x/(/t), y/(/t))라 하자. 시각 /t/에서 국소 튜플의 처음 부분은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} {\Gamma\lbrack q\rbrack(t) = (t;x(t),y(t);Dx(t),Dy(t)).} & {(1.45)} \end{aligned}$$ 그러므로

$$\begin{array}{lll} {(\partial_{1}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack)(t)} & {= \left\lbrack {\frac{- \mu x(t)}{{({(x(t))}^{2} + {(y(t))}^{2})}^{3/2}},\frac{- \mu y(t)}{{({(x(t))}^{2} + {(y(t))}^{2})}^{3/2}}} \right\rbrack} & \\ {(\partial_{2}\, L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack)(t)} & {= \lbrack mDx(t),mDy(t)\rbrack} & {(1.46)}\end{array}$$ 그리고

$$\begin{aligned} {D(\partial_{2}\, L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack)(t) = \lbrack mD^{2}x(t),mD^{2}y(t)\rbrack.} & {(1.47)} \end{aligned}$$ 시각 /t/에서 성분별 라그랑주 방정식은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} {mD^{2}x(t) + \frac{\mu x(t)}{{({(x(t))}^{2} + {(y(t))}^{2})}^{3/2}} = 0} & \\ {mD^{2}y(t) + \frac{\mu y(t)}{{({(x(t))}^{2} + {(y(t))}^{2})}^{3/2}} = 0.} & {(1.48)} \end{aligned}$$ 연습문제 1.9: 라그랑주 방정식

다음 계들에 대해 라그랑주 방정식을 유도하되, 조화 진동자와 궤도 운동 예에서처럼 중간 단계를 모두 보여라.

a. 이상적인 평면 진자는 길이 /l/인 질량 없는 막대로 회전축에 이어진 질량 /m/인 추로 이루어지며, 균일한 중력 가속도 /g/를 받는다. 하나의 라그랑지언은

$L(t,\theta,\dot{\theta}) = \frac{1}{2}ml^{2}{\dot{\theta}}^{2} + mgl\,\,\cos\theta$

이다. L/의 형식 매개변수는 /t, θ, 그리고

$\dot{\theta}$

이며, /θ/는 진자 막대가 연직선과 이루는 각을 재고,

$\dot{\theta}$

는 막대의 각속도이다.⁵⁴

b. 질량 m/인 입자가 2차원 퍼텐셜 /V (x, y) = (/x/² + /y/²)/2

• x/²/y − /y/³/3 속에서 움직인다. 여기서 /x/와 /y/는 입자의 직각

좌표이다. 하나의 라그랑지언은

$L(t;x,y;v_{x},v_{y}) = \frac{1}{2}m\left( {v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} \right) - V(x,y)$

이다.

c. 반지름 /R/인 구면 위에서 움직이도록 구속된 질량 /m/인 입자에 대한 하나의 라그랑지언은

$L(t;\theta,\varphi;\alpha,\beta) = \frac{1}{2}mR^{2}{({\alpha^{2} + {(\beta\,\sin\theta)}^{2}})}$

이다. 각 /θ/는 입자의 여위도(colatitude)이고 /φ/는 경도이다. 여위도의 변화율은 /α/이고 경도의 변화율은 /β/이다.

연습문제 1.10: 고계 미분 라그랑지언

가속도에 의존하는 라그랑지언에 대해 라그랑주 방정식을 유도하라. 특히 L/(/t, q,

q˙

,

q¨

) 꼴이면서

q¨

항을 포함하는 라그랑지언에 대한 라그랑주 방정식이 다음과 같음을 보여라.⁵⁵

$$\begin{aligned} {D^{2}(\partial_{3}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack) - D(\partial_{2}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack) + \partial_{1}L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack) = 0.} & {(1.49)} \end{aligned}$$ 일반적으로 Poisson이 처음 유도한 이 방정식들은 /q/의 4계 도함수를 포함하게 된다. 이 유도가 가속도가 없는 라그랑주 방정식의 유도와 완전히 유사하며 다만 더 길 뿐임에 유의하라. 임계 경로가 미분방정식을 만족하도록 하려면 변분에 어떤 제한을 두어야 하는가?

(define ((Lagrange-equations Lagrangian) q)
(- (D (compose ((partial 2) Lagrangian) (Gamma q)))
(compose ((partial 1) Lagrangian) (Gamma q))))

자유 입자의 경우를 다시 생각하자. 라그랑지언은 절차 L-free-particle로 구현된다. 1.4절에서 했듯이 작용을 수치적으로 적분하고 최소화하는 대신, 임의의 직선 경로 t ↦ (at + a/₀, /bt + b/₀, /ct + /c/₀)에 대해 라그랑주 방정식을 확인할 수 있다:

(define (test-path t)
(up (+ (* 'a t) 'a0) (+ (* 'b t) 'b0) (+ (* 'c t) 'c0)))

(((Lagrange-equations (L-free-particle 'm)) test-path) 't)

(down 0 0 0)

잔차가 0이라는 것은 시험 경로가 라그랑주 방정식을 만족함을 뜻한다.⁵⁷

Lagrange-equations 절차를 임의의 함수에 적용할 수도 있다:⁵⁸

(show-expression
(((Lagrange-equations (L-free-particle 'm))
(literal-function 'x)) 't))

(* (((expt D 2) x) t) m)

$$mD^{2}x(t)$$

결과는 임의의 시간 t/와 질량 /m/을 포함하는 식이므로, 정확히 /D/²/x = 0일 때 0이 되며, 이것이 자유 입자에 대해 기대되는 방정식이다.

라그랑지언 (1.10)을 가진 조화 진동자를 다시 생각하자. 조화 진동자의 운동이 주어진 진폭, 진동수, 위상을 갖는 사인꼴임을 우리는 알고 있다:

$$\begin{aligned} {x(t) = a\,\,\cos(\omega t + \varphi).} & {(1.50)} \end{aligned}$$ 해에 나오는 상수들이 진동자의 질량 /m/과 용수철 상수 /k/에 어떻게 관계되는지 잊어버렸다고 하자. 제안된 해를 대입하여 잔차를 살펴보자:

(define (proposed-solution t)
(* 'A (cos (+ (* 'omega t) 'phi))))

(show-expression (((Lagrange-equations (L-harmonic 'm 'k)) proposed-solution)
't))

$$\cos\,(\omega t + \varphi)\, A\,(k - m\omega^{2})$$

여기서의 잔차는, 진폭이 0이 아닐 때 허용되는 유일한 해가 (k − /mω/²) = 0인 경우, 곧

$\omega = \sqrt{k/m}.$

연습문제 1.11: 케플러의 제3법칙

질량이 /m/₁과 /m/₂이고 퍼텐셜 에너지가 /V/인 두 입자의 상대 운동을 연구하기에 알맞은 라그랑지언은 다음과 같다:

(define ((L-central-polar m V) local)
(let ((q (coordinate local)) (qdot (velocity local)))
(let ((r (ref q 0))
      (phi (ref q 1))
      (rdot (ref qdot 0))
      (phidot (ref qdot 1)))
  (- (* 1/2 m (+ (square rdot) (square (* r phidot))))
     (V r)))))

인수 m은 계의 /환산 질량(reduced mass)/이다.

$$\begin{aligned} {m = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}}.} & {(1.51)} \end{aligned}$$ 중력의 경우 퍼텐셜 에너지 함수는 다음과 같다.

(define ((gravitational-energy G m1 m2) r) (- (/ (* G m1 m2) r)))

여기서 r는 두 입자 사이의 거리이다.

입자들이 공통 질량중심 주위에서 원 궤도를 도는 단순한 상황을 생각하자. 원 궤도를 구성하여 라그랑주 방정식에 대입하라. 그 잔차가 케플러의 법칙을 준다는 것을 보여라:

$$\begin{aligned} {n^{2}a^{3} = G(m_{1} + m_{2})} & {(1.52)} \end{aligned}$$ 여기서 /n/은 궤도의 각진동수이고 /a/는 두 입자 사이의 거리이다.

연습문제 1.12: 라그랑주 방정식

연습문제 1.9의 라그랑지언들에 대해 Lagrange-equations 절차를 써서 라그랑주 방정식을 계산하라. 나아가 Lagrange-equations 절차의 각 단계를 컴퓨터로 수행하고 중간 결과를 보여라. 이 단계들을 연습문제 1.9의 손 유도에서 보인 단계들과 연관 지어라.

연습문제 1.13: 고계 미분 라그랑지언

a. 연습문제 1.10에서처럼 가속도에 의존하는 라그랑지언에 대해 라그랑주 방정식을 계산하는 절차를 작성하라. Gamma는 필요한 국소 튜플의 처음 부분의 길이를 주는 선택적 인수를 받을 수 있음에 유의하라. 기본 길이는 3이며, 이는 속도까지 포함하는 국소 튜플의 성분을 준다.

b. 여러분의 절차를 써서 다음 라그랑지언에 대한 라그랑주 방정식을 계산하라.

$L(t,x,v,a) = - \frac{1}{2}mxa - \frac{1}{2}kx^{2}.$

결과로 나온 운동방정식을 알아보겠는가?

c. 더 재미 삼아, 임의의 개수의 도함수에 의존하는 라그랑지언과 그 도함수의 개수를 받아 필요한 운동방정식을 만들어 내는 일반적인 라그랑주 방정식 절차를 작성하라.

힘을 속도에 무관한 퍼텐셜 에너지 V/의 (음의) 도함수로 확인할 수 있는 점입자계가 주어지면, 그 계는 /L = T − /V/에 대한 라그랑주 방정식을 만족하는 경로를 따라 시간 발전한다는 것을 우리는 보였다. 이 부류의 계에 대한 라그랑지언을 확인했으므로, 정지 작용 원리를 에너지로 다시 말할 수 있다. 이 서술은 /해밀턴 원리/(Hamilton's principle)로 알려져 있다: 힘이 속도에 무관한 퍼텐셜 에너지에서 유도되는 점입자계는, 작용

$S\lbrack q\rbrack(t_{1},t_{2}) = {\int_{t_{1}}^{t_{2}}{L \circ \Gamma\lbrack q\rbrack}}$

이 끝점을 고정한 채 두는 경로 q/의 변분에 대해 정지가 되는 경로 /q/를 따라 시간 발전한다. 여기서 /L = T − /V/는 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 차이다.⁶¹

라그랑주 방정식을

$\overset{\rightarrow}{F} = m\overset{\rightarrow}{a}$

에 지나지 않는 것으로 축소한 것처럼 보일 수 있고, 실제로 이 원리는 이 특수한 부류의 계에 대해 두 방정식을 비교하는 데서 동기가 생겼다. 그러나 운동 방정식의 라그랑지언 정식화는

$\overset{\rightarrow}{F} = m\overset{\rightarrow}{a}$

에 대해 중요한 이점을 가진다. 우리의 유도는 일반화 좌표로 구성 입자들의 위치의 직교 성분 *x*_/α/를 썼지만, 계의 경로가 어떤 특정 좌표계에서 라그랑주 방정식을 만족한다면 그 방정식을 임의의 좌표계에서도 만족해야 한다. 따라서 L = T − V/는 /임의의 일반화 좌표 집합에 대한 라그랑지언으로 적합하다는 것을 알 수 있다. 변분 역학의 방정식은 어떤 배치공간과 어떤 좌표계에서도 같은 방식으로 유도된다. 이와 대조적으로 뉴턴 정식화는 초등 기하학에 기초한다:

$D^{2}\overset{\rightarrow}{x}(t)$

이 가속도로서 의미를 가지려면

$\overset{\rightarrow}{x}(t)$

은 물리 공간의 벡터여야 한다. 라그랑주 방정식은 좌표 /q/의 의미에 이런 제한이 없다. 일반화 좌표는 계의 배치를 편리하게 기술하는 임의의 매개변수면 된다.

가속도 /g/인 균일 중력장 속 질량 /m/의 입자를 생각하자. 퍼텐셜 에너지는 /mgh/이고 여기서 /h/는 입자의 높이다. 운동 에너지는 그저

$\frac{1}{2}mv^{2}$

일 뿐이다. 이 계의 라그랑지언은 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 차이다. 직교 좌표에서 /y/는 수직 위치를, /x/는 수평 위치를 잰다고 하면 라그랑지언은

$L(t;x,y;v_{x},v_{y}) = \frac{1}{2}m\left( {v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} \right) - mgy$

이다. 다음을 얻는다⁶²

(define ((L-uniform-acceleration m g) local) (let ((q
(coordinate local)) (v (velocity local))) (let ((y (ref q 1))) (- (* 1/2 m
(square v)) (* m g y))))) (show-expression (((Lagrange-equations
(L-uniform-acceleration 'm 'g)) (up (literal-function 'x) (literal-function
'y))) 't))

$$\begin{bmatrix} {mD^{2}x\,(t)} {gm + mD^{2}y\,(t)} \end{bmatrix}$$

이 방정식은 수평 방향으로는 무가속도 운동(mD/²/x/(/t) = 0), 수직 방향으로는 일정한 가속도(mD/²/y/(/t) = −/gm/)를 기술한다.

중심력 장 속 질량 m/의 입자의 평면 운동을 생각하자. 퍼텐셜 에너지 /U/(/r)는 인력 중심까지의 거리 /r/에만 의존하는 임의의 함수다. 우리는 이 계의 라그랑주 방정식을 직교 좌표와 극좌표 둘 다에서 유도할 것이다.

원점을 인력 중심에 둔 직교 좌표 (x, y)에서 퍼텐셜 에너지는

$V(t;x,y) = U(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$

이고 운동 에너지는

$T(t;x,y;v_{x},v_{y}) = \frac{1}{2}m\left( {v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} \right)$

이다. 이 계의 라그랑지언은 L = T − /V/다:

$$\begin{aligned} {L(t;x,y;v_{x},v_{y}) = \frac{1}{2}m\left( {v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} \right) - U(\sqrt{x^{2} + y^{2}}).} & {(1.61)} \end{aligned}$$ 절차로 나타내면:

(define ((L-central-rectangular m U) local) (let ((q
(coordinate local)) (v (velocity local))) (- (* 1/2 m (square v)) (U (sqrt
(square q))))))

라그랑주 방정식은

(show-expression (((Lagrange-equations
(L-central-rectangular 'm (literal-function 'U))) (up (literal-function 'x)
(literal-function 'y))) 't))

$$\left\lbrack \begin{array}{l} {mD^{2}x(t) + \frac{DU\left( \sqrt{{(y\,\,(t))}^{2} + {(x\,\,(t))}^{2}} \right)\, x(t)}{\sqrt{{(y\,\,(t))}^{2} + {(x\,\,(t))}^{2}}}} {mD^{2}y(t) + \frac{DU\left( \sqrt{{(x\,\,(t))}^{2} + {(y\,\,(t))}^{2}} \right)\, y(t)}{\sqrt{{(x\,\,(t))}^{2} + {(y\,\,(t))}^{2}}}} \end{array} \right\rbrack$$

이 라그랑주 방정식들을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다:

$$\begin{aligned} {mD^{2}x(t) = - \frac{x(t)}{r(t)}DU(r(t))} & {(1.62)} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} {mD^{2}y(t) = - \frac{y(t)}{r(t)}DU(r(t)),} & {(1.63)} \end{aligned}$$ 여기서

$r(t) = \sqrt{{(x(t))}^{2} + {(y(t))}^{2}}$

이다. 이렇게 해석할 수 있다. 입자는 크기 −/DU/(r)의 반경 방향 힘을 받는다. 뉴턴 방정식은 힘을 질량과 가속도의 곱과 동치로 놓는다. 두 라그랑주 방정식은 뉴턴 방정식의 직교 성분일 뿐이다.

같은 계를 극좌표로 기술할 수 있다. 직교 좌표 $(x, y)$와 극좌표 $(r, \varphi)$의 관계는

$$\begin{aligned} \begin{aligned} {x = r\cos \varphi} & \\ {y = r\sin \varphi} & {(1.64)} \end{aligned} \end{aligned}$$ 일반화 속도의 관계는 좌표 변환으로부터 유도된다. 직교 좌표와 극좌표 양쪽으로 표현되는 배치 경로를 생각하자. $\widetilde{x}$과 $\widetilde{y}$을 직교 좌표 경로의 성분이라 하고, $\widetilde{r}$과 $\widetilde{\varphi}$을 대응하는 극좌표 경로의 성분이라 하자. 시각 /t/에서의 직교 성분은

$(\widetilde{x}(t),\widetilde{y}(t))$

이고 시각 /t/에서의 극좌표는

$(\widetilde{r}(t),\widetilde{\varphi}(t))$

이다. 이들은 (1.64)로 연결된다:

$$\begin{aligned} {\widetilde{x}(t) = \widetilde{r}(t)\cos\widetilde{\varphi}(t)} & \\ {\widetilde{y}(t) = \widetilde{r}(t)\sin\widetilde{\varphi}(t).} & {(1.65)} \end{aligned}$$ 시각 /t/에서의 직교 속도는

$(D\widetilde{x}(t),\,\, D\widetilde{y}(t))$

이다. (1.65)를 미분하면 속도들 사이의 관계를 얻는다

$$\begin{array}{lll} {D\widetilde{x}(t)} & {= D\widetilde{r}(t)\,\cos\,\widetilde{\varphi}(t) - \widetilde{r}(t)D\widetilde{\varphi}(t)\,\sin\,\widetilde{\varphi}(t)} & \\ {D\widetilde{y}(t)} & {= D\widetilde{r}(t)\,\sin\,\widetilde{\varphi}(t) + \widetilde{r}(t)D\widetilde{\varphi}(t)\,\cos\,\widetilde{\varphi}(t).} & {(1.66)}\end{array}$$ 이 관계들은 임의의 순간의 임의의 배치 경로에 대해 성립하므로, 이를 임의의 속도의 좌표 표현들 사이의 관계로 추상화할 수 있다. /v_x/와 /v_y/를 속도의 직교 성분이라 하고

$\dot{r}$

과

$\dot{\varphi}$

을 /r/과 /φ/의 변화율이라 하자. 그러면

$$\begin{aligned} {v_{x} = \dot{r}\cos\varphi - r\dot{\varphi}\sin\varphi} & \\ {v_{y} = \dot{r}\sin\varphi + r\dot{\varphi}\cos\varphi.} & {(1.67)} \end{aligned}$$ 운동 에너지는

$\frac{1}{2}m(v_{x}^{2} + v_{y}^{2})$

다:

$$\begin{aligned} {T(t;r,\varphi;\dot{r},\dot{\varphi}) = \frac{1}{2}m\left( {{\dot{r}}^{2} + r^{2}{\dot{\varphi}}^{2}} \right),} & {(1.68)} \end{aligned}$$ 그리고 라그랑지언은